快速平方根算法

摘要

在3D图形编程中,经常要求平方根或平方根的倒数,例如:求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有 […]

在3D图形编程中,经常要求平方根或平方根的倒数,例如:求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度,但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望能够在保证足够的精度的同时,进一步提高速度。

Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法,它第一次在公众场合出现的时候,几乎震住了所有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的,它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli(未经证实)。

//

// 计算参数x的平方根的倒数

//

float InvSqrt (float x)

{

      float xhalf = 0.5f*x;

      int i = *(int*)&x;

      i = 0x5f3759df - (i >> 1);    // 计算第一个近似根

      x = *(float*)&i;

      x = x*(1.5f - xhalf*x*x);      // 牛顿迭代法

      return x;

}

该算法的本质其实就是牛顿迭代法(Newton-Raphson Method,简称NR),而NR的基础则是泰勒级数(Taylor Series)。NR是一种求方程的近似根的方法。首先要估计一个与方程的根比较靠近的数值,然后根据公式推算下一个更加近似的数值,不断重复直到可以获得满意的精度。其公式如下:

函数:y=f(x)

其一阶导数为:y""=f""(x)

则方程:f(x)=0 的第n+1个近似根为

x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f""(x[n])

NR最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话,那么只需要少数几次迭代,就可以得到满意的解。

现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数,实际就是求方程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为:

x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])

将1/2放到括号里面,就得到了上面那个函数的倒数第二行。

接着,我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方法算出了一个与真根非常接近的近似根,因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解。它是怎样做到的呢?所有的奥妙就在于这一行:

i = 0x5f3759df - (i >> 1);    // 计算第一个近似根

超级莫名其妙的语句,不是吗?但仔细想一下的话,还是可以理解的。我们知道,IEEE标准下,float类型的数据在32位系统上是这样表示的(大体来说就是这样,但省略了很多细节,有兴趣可以GOOGLE):

bits:31 30 ... 0

31:符号位

30-23:共8位,保存指数(E)

22-0:共23位,保存尾数(M)

所以,32位的浮点数用十进制实数表示就是:M*2^E。开根然后倒数就是:M^(-1/2)*2^(-E/2)。现在就十分清晰了。语句i>>1其工作就是将指数除以2,实现2^(E/2)的部分。而前面用一个常数减去它,目的就是得到M^(1/2)同时反转所有指数的符号。

至于那个0x5f3759df,呃,我只能说,的确是一个超级的Magic Number。

那个Magic Number是可以推导出来的,但我并不打算在这里讨论,因为实在太繁琐了。简单来说,其原理如下:因为IEEE的浮点数中,尾数M省略了最前面的1,所以实际的尾数是1+M。如果你在大学上数学课没有打瞌睡的话,那么当你看到(1+M)^(-1/2)这样的形式时,应该会马上联想的到它的泰勒级数展开,而该展开式的第一项就是常数。下面给出简单的推导过程:

对于实数R>0,假设其在IEEE的浮点表示中,

指数为E,尾数为M,则:

R^(-1/2)

= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)

将(1+M)^(-1/2)按泰勒级数展开,取第一项,得:

原式

= (1-M/2) * 2^(-E/2)

= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)

如果不考虑指数的符号的话,

(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1),

而在IEEE表示中,指数的符号只需简单地加上一个偏移即可,

而式子的前半部分刚好是个常数,所以原式可以转化为:

原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1),其中C为常数

所以只需要解方程:

R^(-1/2)

= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)

= C - (R>>1)

求出令到相对误差最小的C值就可以了

上面的推导过程只是我个人的理解,并未得到证实。而Chris Lomont则在他的论文中详细讨论了最后那个方程的解法,并尝试在实际的机器上寻找最佳的常数C。有兴趣的朋友可以在文末找到他的论文的链接。

所以,所谓的Magic Number,并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上的,而是几百年前就有的数学理论。只要熟悉NR和泰勒级数,你我同样有能力作出类似的优化。

在GameDev.net上有人做过测试,该函数的相对误差约为0.177585%,速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程,相对误差可以降低到e-004的级数,但速度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中,Carmack通过查找表进一步优化了该算法,精度近乎完美,而且速度也比原版提高了一截(正在努力弄源码,谁有发我一份)。

值得注意的是,在Chris Lomont的演算中,理论上最优秀的常数(精度最高)是0x5f37642f,并且在实际测试中,如果只使用一次迭代的话,其效果也是最好的。但奇怪的是,经过两次NR后,在该常数下解的精度将降低得非常厉害(天知道是怎么回事!)。经过实际的测试,Chris Lomont认为,最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成64位的double版本的话,算法还是一样的,而最优常数则为0x5fe6ec85e7de30da(又一个令人冒汗的Magic Number - -b)。

这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序,所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就会挂掉。如果想具备可移植性,还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以尝试推算一下相应的平方根算法。

下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐给开源了,所以大家可以放心使用,不用担心会收到律师信。

//

// Carmack在QUAKE3中使用的计算平方根的函数

//

float CarmSqrt(float x){

      union{

            int intPart;

            float floatPart;

      } convertor;

      union{

            int intPart;

            float floatPart;

      } convertor2;

      convertor.floatPart = x;

      convertor2.floatPart = x;

      convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1);

      convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart >> 1);

      return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart));

}

另一个基于同样算法的更高速度的sqrt实现如下。其只是简单地将指数除以2,并没有考虑尾数的方根。要看懂该代码的话必须知道,在IEEE浮点数的格式中,E是由实际的指数加127得到的。例如,如果实数是0.1234*2^10,在浮点表示中,E(第23-30位)的值其实为10+127=137。所以下面的代码中,要处理127偏移,这就是常数0x3f800000的作用。我没实际测试过该函数,所以对其优劣无从评论,但估计其精度应该会降低很多。

float Faster_Sqrtf(float f)

{

      float result;

      _asm

      {

            mov eax, f

            sub eax, 0x3f800000

            sar eax, 1

            add eax, 0x3f800000

            mov result, eax

      }

      return result;

}

除了基于NR的方法外,其他常见的快速算法还有多项式逼近。下面的函数取自《3D游戏编程大师技巧》,它使用一个多项式来近似替代原来的长度方程,但我搞不清楚作者使用的公式是怎么推导出来的(如果你知道的话请告诉我,谢谢)。

//

//    这个函数计算从(0,0)到(x,y)的距离,相对误差为3.5%

//

int FastDistance2D(int x, int y)

{

      x = abs(x);

      y = abs(y);

      int mn = MIN(x,y);

      return(x+y-(mn>>1)-(mn>>2)+(mn>>4));

}

//

// 该函数计算(0,0,0)到(x,y,z)的距离,相对误差为8%

//

float FastDistance3D(float fx, float fy, float fz)

{

      int temp;

      int x,y,z;

      // 确保所有的值为正

      x = int(fabs(fx) * 1024);

      y = int(fabs(fy) * 1024);

      z = int(fabs(fz) * 1024);

      // 排序

      if (y < x) SWAP(x,y,temp)

      if (z < y) SWAP(y,z,temp)

      if (y < x) SWAP(x,y,temp)

      int dist = (z + 11 * (y >> 5) + (x >> 2) );

      return((float)(dist >> 10));

}

还有一种方法称为Distance Estimates(距离评估?),如下图所示:

红线所描绘的正八边形上的点为:

octagon(x,y) = min((1/√2) * (|x|+|y|), max(|x|,|y|))

求出向量v1和v2的长度,则:

√(x^2+y^2) = (|v1|+|v2|)/2 * octagon(x,y)

到目前为止我们都在讨论浮点数的方根算法,接下来轮到整数的方根算法。也许有人认为对整型数据求方根无任何意义,因为会得到类似99^(1/2)=9的结果。通常情况下确实是这样,但当我们使用定点数的时候(定点数仍然被应用在很多系统上面,例如任天堂的GBA之类的手持设备),整数的方根算法就显得非常重要。对整数开平方的算法如下。我并不打算在这讨论它(事实是我也没有仔细考究,因为在短期内都不会用到- -b),但你可以在文末James Ulery的论文中找到非常详细的推导过程。

//

// 为了阅读的需要,我在下面的宏定义中添加了换行符

//

#define step(shift)

if((0x40000000l >> shift) + sqrtVal <= val)

{

      val -= (0x40000000l >> shift) + sqrtVal;

      sqrtVal = (sqrtVal >> 1) | (0x40000000l >> shift);

}

else

{

      sqrtVal = sqrtVal >> 1;

}

//

// 计算32位整数的平方根

//

int32 xxgluSqrtFx(int32 val)

{

      // Note: This fast square root function

      // only works with an even Q_FACTOR

      int32 sqrtVal = 0;

      step(0);

      step(2);

      step(4);

      step(6);

      step(8);

      step(10);

      step(12);

      step(14);

      step(16);

      step(18);

      step(20);

      step(22);

      step(24);

      step(26);

      step(28);

      step(30);

      if(sqrtVal < val)

      {

            ++sqrtVal;

      }

      sqrtVal <<= (Q_FACTOR)/2;

      return(sqrtVal);

}

sqrt2003 GameDev.net,,FPU,sqrt,SIMD,,4 

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